Бросили шесть монет какова вероятность того что число выпавших гербов


Задания для контрольной работы по теории вероятности (11 класс)

1группа

1.По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар. (0,02) Решение: 1-0,8=0,2 1-0,9=0,1 0,2*0,1=0,02

2.На фабрике керамической посуды 5% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.0,99 Решение:0,05*0,2=0,01 1-0,01=0,99

3.Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?0,006

Решение:0,051-0,045=0,006

4.Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 40% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 55% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.0,75

Решение:0,6х+0,4(1-х)==0,55

5.Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45%  этих стекол, вторая –– 55% . Первая фабрика выпускает 3%  бракованных стекол, а вторая –– 1% . Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным0,019

Решение:0,45*0,03+0,55*0,01=0,019

6.При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 66,99 мм, или больше, чем 67,01 мм.0,035 Решение:1-0,965=0,035

2группа

1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых(0,14)

Решение: 1-5,5-1,2-4,4-2,3-3 5/36

2.В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 16. Результат округлите до тысячных.0,028

Решение:556,565,655,664,646,466 6/216

3.В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 9 очков. Результат округлите до сотых.0,11

Решение:36,63,45,54 4/36

4.В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что разница выпавших очков равна 1 или 2 .0,5

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что произведение выпавших очков делится на 5 , но не делится на 30 . 

Ответ округлите до сотых.0,25

Решение:9/36

3группа

1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.0,375

Решение:1100,0110,0011 3/8

2.Бросили шесть монет. Какова вероятность того, что число выпавших «гербов» будет больше числа выпавших «решек»? Ответ округлите до сотых.0,34

Решение:Рррррр гррррр ггрррр гггррр ггггрр гггггр гггггг 3/7

3.В случайном эксперименте симметричную монету бросают пять раз. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.0,3125

Решение:5/16

4.В случайном эксперименте симметричную монету бросают семь раз. Найдите вероятность того, что количество выпавших орлов меньше 4 . Ответ округлите до сотых.0,5

4группа

1.В параллели 51 учащийся, среди них два друга —  Михаил и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Михаил и Сергей окажутся в одной группе.0,32

Решение:16/50

2.В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 16 из них встречается вопрос по логарифмам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по логарифмам.0,8

Решение:16/20

3.Из множества натуральных чисел от 58 до 82 включительно наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 6?0,16

Решение: Чисел 25 60,66,72,78 4/25

4.За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.0,5

Решение:2/4

5. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Голландии и 2 прыгуна из Аргентины. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четырнадцатым будет выступать прыгун из Аргентины.0,05

Решение:2/40

6. В группе туристов 24 человека. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 3 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист A. полетит первым рейсом вертолёта.0,125

Решение:1/8

7. В классе 21 учащийся, среди них две подруги — Света и Нина. Класс случайным образом делят на семь групп, по 3 человека в каждой. Найдите вероятность того, что Света и Нина окажутся в одной группе.0,1

Решение:2/20

8. В большой партии насосов в среднем на каждые 1393  исправных приходится 7  неисправных насосов. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.0,005

Решение:7/1393

9.Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Химик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Химик» выиграет жребий ровно два раза.0,375

Решение:3/8

10.Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Протор», «Ротор» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только вторую и последнюю игры.0,125

Решение:1/8

11.На борту самолёта 18 мест рядом с запасными выходами и 28 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Д. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Д. достанется удобное место, если всего в самолёте 200 мест.0,23

Решение:18+28=46 46/200

12.В группе туристов 10 человек. С помощью жребия они выбирают четырёх человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?0,4

Решение:4/10

  1. На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.

Задание 10 № 1001

Пояснение.

Андрей выучил 60 – 3 = 57 вопросов. Поэтому вероятность того, что на экзамене ему попадется выученный вопрос равна

 

.

Ответ: 0,95.

  1. На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней. Юля наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Задание 10 № 1024

Пояснение.

вероятность того, что пирожок окажется с вишней равна

 

Ответ: 0,25.

  1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Задание 10 № 282854

Пояснение.

Равновозможны 4 исхода эксперимента: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Орел выпадает ровно один раз в двух случаях: орел-решка и решка-орел. Поэтому вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз, равна

 

Ответ: 0,5.

  1. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Задание 10 № 282855

Пояснение.

В чемпионате принимает участие  спортсменок из Китая. Тогда вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна

 

Ответ: 0,25.

  1. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

282856Пояснение.

в среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 1000 − 5 = 995 не подтекают. Значит, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна

Ответ: 0,995.

  1. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

282857Пояснение.

По условию из любых 100 + 8 = 108 сумок в среднем 100 качественных сумок. Значит, вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна

Ответ: 0,93.

7.В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

Задание 10 № 282858

Пояснение.

Всего в соревнованиях принимает участие 4 + 7 + 9 + 5 = 25 спортсменов. Значит, вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции, равна

 

Ответ: 0,36.

  1. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Задание 10 № 285922

Пояснение.

За первые три дня будет прочитан 51 доклад, на последние два дня планируется 24 доклада. Поэтому на последний день запланировано 12 докладов. Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 

 

Ответ: 0,16.

8.Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Задание 10 № 285923

Пояснение.

На третий день запланировано  выступлений. Значит, вероятность того, что выступление представителя из России окажется запланированным на третий день конкурса, равна

 Ответ: 0,225.

На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

Задание 10 № 320178

Пояснение.

9.На клавиатуре телефона 10 цифр, из них 5 четных: 0, 2, 4, 6, 8. Поэтому вероятность того, что случайно будет нажата четная цифра равна 5 : 10 = 0,5.

 

Ответ: 0,5.

10. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?320179Пояснение.

Натуральных чисел от 10 до 19 десять, из них на три делятся три числа: 12, 15, 18. Следовательно, искомая вероятность равна 3:10 = 0,3.

 Ответ: 0,3.

11. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.

Задание 10 № 320209

Пояснение.

На циферблате между десятью часами и одним часом три часовых деления. Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна:

 Ответ: 0,25.

12. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 4 часа.

322521Пояснение.

На циферблате между десятью и четырьмя часами шесть часовых делений. Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна:

 

Ответ: 0,5.

13) Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Задание 10 № 319355

Пояснение.

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.

Ответ: 0,156

14.) Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше.

Задание 10 № 320197

Пояснение.

Указанные события противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,81 = 0,19.

 

Ответ: 0,19.

15) Игральную кость с 6 гранями бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, большее 3.

Задание 10 № 506453

Пояснение.

Возможность появления числа в первом и втором броске не зависят друг от друга. Вероятность того, что на игральной кости выпадет число меньше, либо равное трёх: 1 − 0,5 =  0,5. Поэтому вероятность того, что ни разу оба раза число меньше либо равное трём равна 0,5 · 0,5 = 0,25. Следовательно, вероятность того, что хотя бы раз выпадет число большее трёх равна 1 − 0,25 = 0,75.

 

Ответ: 0,75.

16) Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Задание 10 № 320173

Пояснение.

Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он промахивается с вероятностью 1 − 0,8 = 0,2. Cобытия попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся» равна

 

Ответ: 0,02.

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Задание 10 № 320174

Пояснение.

Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025.

 

Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975.

Ответ: 0,9975.

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Задание 10 № 320175

Пояснение.

Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равно произведению вероятностей этих событий: 0,3·0,3 = 0,09.

Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,09 = 0,91.

 

Ответ: 0,91. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Задание 10 № 320198

Пояснение.

Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В = «учащийся решит больше 11 задач». Их сумма — событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

 

P(A + B) = P(A) + P(B).

 

 

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07.

 

Ответ: 0,07.

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Задание 10 № 320203

Пояснение.

Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

 

P(A + B) = P(A) + P(B).

 

 

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.

 

Ответ: 0,38.

infourok.ru

Монету бросают шесть раз. Найти вероятность того, что герб выпадет более четырех раз.

Часть 1.

Группа из 8 детей рассаживается вокруг круглого стола в кафе произвольным образом, занимая все места. Какова вероятность, что Маша и Даша окажутся сидящими рядом?

Решение:

Всего 8 детей рассаживаются за круглым столом.

Пусть событие А – Маша и Даша окажутся рядом.

Воспользуемся классическим определением вероятности: .

 - число всевозможных исходов события А, т.е. число различных перестановок 8 детей по 8 местам: .

 - число благоприятствующих исходов события А, т.е. число способов рассадки детей при котором Маша и Даша окажутся сидящими рядом. Маша может сесть на 8 мест 8 способами, Даша может сесть рядом с Машей двумя способами, остальные дети могут разместиться по 6 оставшимся местам  способами, по правилу произведения: .

Вероятность события А равна: .

Ответ: .

 

 

Из полного набора костей домино наугад берутся две кости. Определить вероятность того, обе кости оказались дублями.

Решение:

Всего набор костей домино состоит из 28 костей: 7 дублей и 21 не дубля.

Наугад выбирают две кости.

Пусть событие А – выбранные кости оказались дублями.

Воспользуемся классическим определением вероятности: .

 - число всевозможных исходов события А, т.е. число различных способов выбрать две кости из 28, без учета порядка: .

 - число благоприятствующих исходов события А, т.е. число различных способов выбрать 2 дубля из 7 возможных, без учета порядка: .

Вероятность события А равна: .

Ответ: .

 

Среди 20 студентов, сдающих экзамен, пятеро из города А, остальные из других городов. Случайным образом 4 студента сели на первые парты. Определить вероятность того, что двое среди них – уроженцы города А.

Решение:

Всего 20 студентов: 5 из города А, 15 – из других городов. 4 студента садятся на первую парту.

Пусть событие А – двое из этих студентов – уроженцы города А.

Воспользуемся классическим определением вероятности: .

 - число всевозможных исходов события А, т.е. число различных способов выбрать 4-х студентов из 20, без учета порядка: .

 - число благоприятствующих исходов события А, т.е. число различных способов выбрать 2-х студентов из 5, и 2-х студентов из 15, без учета порядка: .

Вероятность события А равна: .

Ответ: .

 

В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до обоих концов отрезка превосходит 0,3.

Решение:

 По условию задачи: . С .

Пусть , тогда .

Событие А - .

.

По геометрическому определению вероятности, вероятность события А равна:  

Ответ: .

 

 

В первой урне 35 белых шаров и 65 черных, во второй урне 30 белых шаров и 70 черных. Наудачу вынимают по одному шару из каждой урны. Определить вероятность того, что эти шары белые.

Решение:

Всего две урны. В первой урне 100 шаров: 35 белых шаров и 65 черных шаров. Во второй урне 100 шаров: 30 белых и 70 черных шаров.

Наудачу извлекают по одному шару из каждой урны.

Пусть событие А – оба вынутых шара белые.

Рассмотрим события  - из -ой урны вынут белый шар. События  - независимы.

.

Событие А произойдет если произойдут события  и : т.е. . По теореме о вероятности произведения независимых событий, вероятность события А равна:

.

Ответ: .

 

6. Игрок Dendi выбирает себе героя для игры в DOTA 2. С вероятностью 20% это будет « Pudge », с вероятностью 35% - « Slark », и с вероятностью 45% - « Invoker ». Шансы на выигрыш для этих героев соответственно равны 55%, 45% и 65%. Определить вероятность выигрыша Dendi .

Решение:

Пусть событие А- игрок Dendi выиграет.

Введем гипотезы:

 - игрок Dendi выбрал персонажа «Pudge»: .

 - игрок Dendi выбрал персонажа «Slark»: .

 - игрок Dendi выбрал персонажа «Invoker»: .

По условию задачи:

 - вероятность того, что игрок Dendi выиграет, играя персонажем «Pudge».

 - вероятность того, что игрок Dendi выиграет, играя персонажем «Slark».

 - вероятность того, что игрок Dendi выиграет, играя персонажем «Invoker».

По формуле полной вероятности, вероятность события А равна:

.

Ответ: .

 

 

В первом ящике 20 деталей, среди которых 3 бракованных, во втором 18 деталей, среди которых 6 бракованных. Из наудачу выбранного ящика взяли деталь, которая оказалась бракованной. Определить вероятность того, что деталь извлекли из первого ящика.

Решение:

Всего два ящика. В 1-м ящике 20 деталей: 3 бракованных и 17 не бракованных. Во 2-м ящике 18 деталей: 6 бракованных и 12 не бракованных.

Из наудачу выбранного ящика выбрали одну деталь.

Пусть событие А- выбранная деталь оказалась бракованной. 

Введем гипотезы:

 - выбран -й ящик: .

 - вероятность того, что из первого ящика извлечена бракованная деталь.

 - вероятность того, что из второго ящика извлечена бракованная деталь.

По формуле полной вероятности, вероятность события А равна:

.

Выбранная деталь оказалась бракованной. По формуле Байеса найдем вероятность того, что она была взята из первого ящика:

.

Ответ:

 

Монету бросают шесть раз. Найти вероятность того, что герб выпадет более четырех раз.

Решение:

 - число подбрасываний монеты.  - вероятность того, что в результате одного подбрасывания монеты выпадет герб. Имеем схему Бернулли, для решения задачи воспользуемся формулой Бернулли: .

Событие А – в результате шести подбрасываний монеты герб выпадет более четырех раз.

.

Ответ: .

 

studopedia.net

Потапов М. К., Шевкин А. В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Глава III

Элементы теории вероятностей 

      Элементы теории вероятностей — это новое содержание в курсе математики средней школы. Ранее эти вопросы изучались лишь в физико-математических классах, теперь в небольшом объеме этот материал стал обязательным и при обучении на базовом уровне. Для контроля усвоения материала этого параграфа можно использовать задачи из учебника или из других источников. В преамбуле введены понятия: события и случайные события.

§ 12. Вероятность события

12.1. Понятие вероятности события

      В данном пункте введены понятия равновозможных событий, единственно возможных событий, случая, достоверного события, невозможного события, несовместных событий, вероятности события.

      Решения и комментарии

      12.2. Бросают игральную кость. Являются ли события А — «выпадание шести очков» и В — «выпадание четного числа очков» равновозможными, единственно возможными?
      Решение. События А и В не являются равновозможными, так как событию А благоприятствует один случай (выпадет 6 очков), а событию В — три (выпадет 2, 4, 6 очков). События А и В не являются и единственно возможными, так как, кроме событий А и В, может произойти, например, и событие С — выпадет 5 очков.
      12.4. Бросают две монеты. Рассмотрим два события: А — «выпали два орла»; В — «выпала решка» (хотя бы на одной монете). Являются ли события А и В:
      а) равновозможными; б) несовместными?
      Решение. Для большей наглядности будем считать, что монеты разные — большая и маленькая, всего возможны 4 случая: выпадут два орла (Оо), две решки (Рр), орел на большой монете, решка на маленькой (Ор), решка на большой монете, орел на маленькой монете (Ро).
      а) События А и В не являются равновозможными, так как событию А благоприятствует один случай (Оо), а событию В — три (Рр, Ор, Ро).
      б) События А и В являются несовместными, так как они не могут произойти одновременно в одном опыте.
      12.8. При игре в лото используются фишки с номерами от 1 до 90. Наудачу вынимается одна фишка. Какова вероятность события:
      а)  А — «номер вынутой фишки делится на 10»;
      б)  В — «номер вынутой фишки делится и на 5, и на 9»;
      в)  С — «номер вынутой фишки меньше 100»;
      г)  D — «номер вынутой фишки 77»?
      Решение. а) Событию А благоприятствуют 9 случаев: будут вынуты фишки с номерами 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. P(A)=10:90=0,1.
      б) Событию В благоприятствуют 2 случая: будут вынуты фишки с номерами 45, 90. P(B)=2:90=145.
      в) Событию С благоприятствуют 90 случаев: будут вынуты фишки с номерами от 1 до 90. P(C)=90:90=1.
      г) Событию D благоприятствует 1 случай: будет вынута фишка с номером 77. P(D)=1:90=190.
      12.10. а) Я задумал двузначное число. Какова вероятность того, что вы угадаете это число с первого раза?
      б) Я задумал двузначное число, записанное разными цифрами. Какова вероятность того, что вы угадаете это число с первого раза?
      Решение. а) Всех двузначных чисел 99−9=90. Вероятность угадать одно из них с первого раза равна 190.
      б) Из 90 двузначных чисел 90−9=81 записаны разными цифрами. Вероятность угадать такое число с первого раза равна 181.
      12.11. Ученик задумал натуральное число, не превышающее 100. Какова вероятность того, что это число: а) четное; б) делится на 4; в) делится на 10; г) при делении на 10 дает остаток 7?
      Решение. Из первых 100 натуральных чисел 50 четных, 25 делящихся на 4, 10 делящихся на 10, 10 дающих при делении на 10 остаток 7, поэтому искомая вероятность равна:
      а)  50:100=0,5;
      б)  25:100=0,25;
      в)  10:100=0,1;
      г)  10:100=0,1.
      12.12. Используя некоторые из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторения, записали четырехзначное число. Какова вероятность того, что вы угадаете это число с первого раза?
      Решение. Таких четырехзначных чисел A54=5⋅4⋅3⋅2=120, поэтому искомая вероятность равна 1:120=1120.
      12.13. Четырехзначное число записали, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5 (цифры числа могут быть одинаковые). Какова вероятность того, что вы угадаете это число с первого раза?
      Решение. Таких четырехзначных чисел 5⋅5⋅5⋅5=625, поэтому искомая вероятность равна 1:625=1625.
      12.14. Один игрок записал четырехзначное число, используя различные цифры, кроме 0. Какова вероятность того, что второй игрок угадает это число с первого раза?
      Решение. Таких четырехзначных чисел A94=9⋅8⋅7⋅6=3024, поэтому искомая вероятность равна 1:3024=13024.
      12.16. В ящике лежат 6 белых и 8 черных шаров — из них 2 белых и 3 черных шара помечены звездочками. Из ящика наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что будет вынут белый шар со звездочкой?
      Решение. Вероятность вынуть любой из двух белых шаров со звездочкой равна 2:(6+8)=17.
      12.17. Четыре футбольные команды K1,  K2,  K3,  K4 вышли в полуфинал мирового первенства. Специалисты считают, что их силы примерно равны. Какова вероятность события:
      а) А — «команды K1 и K2 выйдут в финал»;
      б) В — «команда K1 получит „золото“, а команда K2  — „серебро“»;
      в) С — «команды заняли места с первого по четвертое в указанном порядке: K4,  K1,  K3,  K2»?
      Решение. а) В финал может выйти любая пара команд: 1) K1 и K2; 2) K1 и K3; 3) K1 и K4; 4) K2 и K3; 5) K2 и K4; 6) K3 и K4. Событию А благоприятствует 1 случай из 6, поэтому P(A)=16.
      б) В каждом из рассмотренных 6 случаев (задание «а») имеется два способа распределить «золото» и «серебро». Событию В благоприятствует 1 случай из 12, поэтому P(B)=112.
      в) Так как распределение мест с 1-го по 4-е возможно P4=4⋅3⋅2⋅1=24 способами, то событию С благоприятствует 1 случай из 24, поэтому P(C)=124.

12.2. Свойства вероятностей событий

      В данном пункте учебника определена сумма событий А и В, сумма (объединение) несовместных событий А и В, произведение (пересечение) событий А и В, введены соответствующие обозначения: A∪B,  A+B,  A∩B. Здесь же дано определение события, противоположного событию А (обозначение A¯), введено обозначение A\B для события, заключающегося в том, что происходит событие A, но событие В не происходит.

      Решения и комментарии

      12.22. Бросают игральный кубик. Событие А заключается в выпадании или 5, или 6 очков; событие В заключается в выпадании четного числа очков. В чем заключаются события A\B и B\A? Вычислите вероятности P(A\B) и P(B\A).
      Решение. Событие A\B заключается в выпадании 5 очков, P(A\B)=16. Событие B\A заключается в выпадании или 2, или 4 очков, P(B\A)=26=13.
      12.24. Однажды к Галилео Галилею явился солдат и спросил: «Какая сумма выпадает чаще при бросании трех игральных костей — 9 или 10?» Галилей правильно решил эту задачу. Что ответил Галилей?
      Решение. При бросании трех костей возможны 6⋅6⋅6=216 случаев, каждому из них соответствует трехзначное число, первая, вторая и третья цифры которого — количества очков, выпавшие соответственно на первом, втором и третьем кубике:

111,  112,  113,  114,  115,  116,  211,  …,  665,  666.

      Сумма 9 очков получится только в следующих 25 случаях:

126,216,315,414,513,612,135,225,324,423,522,621.144,234,333,432,531,153,243,342,441,162,252,351,261,

      Сумма 10 очков получится только в следующих 27 случаях:

136,226,316,415,514,613,145,235,325,424,523,622,154,244,334,433,532,631.163,253,343,442,541,262,352,451,361,

      Следовательно, вероятность выпадания 9 очков равна 25216, а вероятность выпадания 10 очков равна 27216. Поэтому более вероятно выпадание 10 очков.
      12.25. В некотором царстве, в некотором государстве живут правдолюбцы, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые могут лгать или говорить правду, но не любят признаваться в этом. Для получения правдивой информации о количестве лжецов было проведено такое исследование. Каждого испытуемого спрашивали: «Вы лжец?» Прежде чем ответить, испытуемый подбрасывал монету так, чтобы результат этого опыта был виден только ему одному. Если выпадал герб, то он должен был сказать «да» (независимо от того, кем он является на самом деле). Если же выпадала решка, то он должен был правдиво ответить на вопрос (в этом случае исследователи не могли знать, кем на самом деле является испытуемый, так как они не знали результата опыта с монетой). В результате исследования выяснилось, что 61% граждан царства-государства ответили «да», остальные — «нет». Сколько процентов граждан этого царства-государства являются лжецами, если были опрошены все граждане?
      Решение. Считаем выпадание герба и решки равновероятными событиями, поэтому у 50% всех граждан выпал герб, и они сказали «да». Еще 61−50=11(%) всех граждан после выпадания у них решки также сказали «да». Они лжецы. Если считать, что лжецы равномерно распределены между двумя группами испытуемых (первая — те, у которых выпал герб, вторая — те, у которых выпала решка), то и в первой группе лжецы составляют 11% всех граждан. Тогда среди всего населения царства-государства лжецы составляют 22%.
      12.26. Имеется 16 игральных карт: 4 валета, 4 дамы, 4 короля и 4 туза. Из колоды наудачу вынимают одну карту. Какова вероятность, что будет вынута или козырная карта, или дама?
      Решение. Пусть событие А заключается в том, что будет вынута козырная карта, P(A)=416=14. Пусть событие В заключается в том, что будет вынута дама, P(B)=416=14. Событие A∪B заключается в том, что будет вынута или козырная карта, или дама. Тогда P(A∪B)=P(A)+P(A)−P(AB). Событие АВ заключается в том, что будет вынута козырная дама. P(AB)=116.
      Итак, P(A∪B)=14+14−116=716, т. е. искомая вероятность равна 716.
      Можно рассуждать и иначе. Так как козырных карт 4 и дам 4 (из них одна козырная), то событию D — «вынута козырная карта или дама» — благоприятствует 7 случаев. Следовательно, P(D)=716.
      12.27. Имеется колода из 52 игральных карт. Из колоды наудачу вынимают одну карту. Какова вероятность, что будет вынута или козырная карта, или дама?
      Решение. Пусть событие А заключается в том, что будет вынута козырная карта, P(A)=14. Пусть событие В заключается в том, что будет вынута дама, P(B)=452=113. Событие A∪B заключается в том, что будет вынута или козырная карта, или дама. Тогда P(A∪B)=P(A)+P(A)−P(AB). Событие АВ заключается в том, что будет вынута козырная дама. P(AB)=152.
      Итак, P(A∪B)=14+113−152=413, т. е. искомая вероятность равна 413.
      Можно рассуждать и иначе. Так как козырных карт 13 и дам 4 (из них одна козырная), то событию D —«вынута козырная карта или дама» — благоприятствует 16 случаев. Следовательно, P(D)=1652=413.

www.school-russia.prosv.ru

«Вычисление вероятностей по формуле Бернулли»

Учебная дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика»

специальность среднего профессионального образования

230401 Информационные системы (по отраслям)

Курс -3

Практическая работа

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

Цель: 1) Расширение и углубление знаний о вероятности события при независимых испытаниях.

2) Формирование умений решать задачи на нахождение вероятности с использованием формулы Бернулли

3) Формированию ОК 2,3,4

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна p, то вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях m раз, выражается формулой Бернулли

Pn(m) = Cnk·pm·qn-m, где q = 1-p.


      Число m0 называется наивероятнейшим числом наступлений события А в n испытаниях и равно целой части числа (n+1)p, а при целом (n+1)p наибольшее значение достигается при двух числах: m1=(n+1)p-1 и m2=(n+1)p. 
      Если р≠0 и р≠1, то число m0 можно определить из двойного неравенства

np-q ≤ m0 ≤ np+p.

Задача 1.
В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых?
Решение. Вероятность извлечения белого шара p=20/30=2/3 можно считать одной и той же во всех испытаниях; q=1-p=1/3. Используя формулу Бернулли, получаем

P4(2) = C42·p2·q2=(12/2)·(2/3)2·(1/3)2 = 8/27


Задача 2. Игральную кость бросили 10 раз. Какова вероятность, что число 3 выпадет два раза?

Решение. При одном броске вероятность выпадения тройки равна р = 1/6, а вероятность не выпадения равна 1-р = 5/6. 

Каждый бросок - независимое испытание. Применим ф-лу Бернулли.  

 Рn(m)=Сnm pm(1-p)n-m,   где        n=10,  m=2

Р= С102 ·(1/6)2 ·(5/6)8 = 10!/ (8!*2!)* 58/610 = 45*58/610 ≈0,29

Задача 3.
Вероятность появления события А равна 0,4. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появится не более трех раз?
Решение. Здесь p=0,4, q=0,6. Имеем:

P10(0) = q10, P10(1) = 10pq9, P10(2) = 45p2q8, P10(3) = 120p3q7.

Вероятность того, что событие А появится не больше трех раз, равна

Р = P10(0) + P10(1) + P10(2) + P10(3) = q10+10pq9+45p2q8+120p3q7≈ 0,38 .

Задача 4.
Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.
Решение. Здесь n=25, p=0,7, q=0,3. Следовательно,

25·0,7-0,3 ≤ m0 ≤ 25·0,7 + 0,7, т.е. 17,2 ≤ m0 ≤ 18,2.

Так как m - целое число, то m0=18. 

Содержание практической работы

Решите задачу:

Задача 1. Монету бросают 10 раз. Найдите вероятность, что герб выпадет:

1) 4 раза;

2) не менее 4 раз.

Решение. 

1) Вероятность выпадения герба при одном броске равна 1/2, вероятность выпадения решки также равна 1/2.

Испытания Бернулли.

Р = С104 *(1/2)4*(1-1/2)10-4 = 10!/(4!*6!) * (1/2)10 = 10*9*8*7/(2*3*4) /210 = 210/1024 =

= 0,205078125≈ 0,205

2) Пусть Событие А = "Герб выпадет не менее 4-х раз".

Проще найти вероятность противоположного события (не А): "Герб выпадет менее 4-х раз". Т.е. 3 или 2 или 1 раз или ни разу.  Обозначим Р(k) - вероятность того, что при 10 бросках герб выпадет k раз.

Р(3) = С103 *(1/2)10 = 10*9*8/6 /1024 = 120/1024

Р(2) = С102 *(1/2)10 = 10*9/2 /1024 = 45/1024

Р(1) = 10*(1/2)10 = 10/1024

Р(0) = 1*(1/2)10 = 1/1024

Р(не А) = Р(0)+Р(1)+Р(2)+Р(3) = (120+45+10+1)/1024 = 176/1024= 0,171875

Р(А) = 1 - Р(не А) = 1 - 0,171875 = 0,828125

Задача 2. Игральная кость бросается 6 раз. Какова вероятность того, что шестерка выпадет 4 раза?

Решение.

Вероятность выпадения шестерки равна 1/6, а не выпадения 5/6. Имеем испытания Бернулли.

Р= С64*(1/4)2(5/6)6-2 = 6!/(4!*2!)* 1/16 * (5/6)4 = 15/16* 625/1296≈ 0,452

Задача 3. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0.11. Пользуясь формулой Бернулли найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей будут четыре стандартных.

Решение.  Вероятность изготовить стандартную деталь равна  1-0,11=0,89

По формуле Бернулли

Р=С54*0,894*0,111 = 5!/(4!*1!) *0,894*0,11= 5*0,6274*0,11=0,3451

Задача 4.  Произведено 46 бросков одной игральной кости, каково наивероятнейшее количество выпадений шестерки?

Решение. Событие А - выпадение шестерки при одном испытании. Количество испытанийn=46.

При одном испытании вероятность наступления события А равна  р=1/6,    q=1-p = 5/6 - вероятность не наступления события А (выпадение не 6).

Число m называется наивероятнейшим числом наступления события А   в серии из n независимых испытаний Бернулли (с вероятностью наступления события А, равной  р в одном испытании) и определяется соотношением

np-q ≤ m ≤ np+p

46*1/6 -5/6 ≤ m ≤ 46*1/6 +1/6

41/6 ≤ m ≤ 47/6

6,8 ≤ m ≤ 7,8

Ответ:  7.

 Задача 5.  Игральная кость бросается 21раз. Каково наиболее вероятное количество испытаний, в которых выпадет менее 4-х очков?

Решение. Событие А - выпадение 1, 2 или 3 при одном испытании. Количество испытанийn=21.

При одном испытании вероятность наступления события А равна  3/6=1/2.

р=1/2,    q=1-p = 1/2 - вероятность не наступления события А (выпадение 4, 5 или 6).

Число m называется наивероятнейшим числом наступления события А   в серии из nнезависимых испытаний Бернулли (с вероятностью наступления события А, равной  рв одном испытании) и определяется соотношением

np-q ≤ m ≤ np+p

21*0,5 -0,5 ≤ m ≤ 21*0,5 +0,5

10 ≤ m ≤ 11

Ответ: 10;  11.

 Задача 6. Игральная кость бросается 16 раз. Найти наивероятнейшее число появления числа очков кратного трем.

Решение. Событие А - выпадение 3 или 6 при одном испытании. Количество испытаний 16.

При одном испытании вероятность наступления события А равна р=2/6=1/3, а вероятность не наступления равна q=1 -1/3 =2/3

np-q ≤ m ≤ np+p    m-наивероятнейшее число наступления события А.

n=16  p=1/3   q=2/3

16*1/3 - 2/3 ≤ m ≤ 16*1/3 + 1/3

14/3  ≤ m ≤ 17/3

4,7  ≤ m ≤ 5,6                   m=5

Ответ: 5

Задача 7. Вероятность изготовления изделия высшего сорта равна 0,87. Чему равно наиболее вероятное число изделий высшего сорта в партии из 100

изделий.

Решение.  Событие А - изготовлено изделие высшего сорта, вероятность наступления события А  р=0,87, вероятность не наступления события А  q=1-0,87=0,13.

n=100 - количество испытаний Бернулли (количество изготовленных изделий).

m - наивероятнейшее число изделий высшего сорта

        np-q ≤ m ≤ np+p

100*0,87 - 0,13 ≤ m ≤ 100*0,87 + 0,87

87-0,13 ≤ m ≤ 87 +0,87

m=87

Задача 8. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности
, . 
По формуле Бернулли требуемая вероятность равна 
.

Задача 9.  Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными.

Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А - «появление нестандартной детали», его вероятность , тогда . Отсюда по формуле Бернулли находим
.

Задача 10.  При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.

Решение. Вычисляем по формуле Бернулли:

Задача 11.   Что вероятнее: выиграть у равносильного противника три партии из четырех или пять партий из восьми (ничьи в отдельных партиях исключены)?

Решение.   Пусть p - вероятность выигрыша, а q = 1 - p - вероятность проигрыша одной партии, тогда по формуле Бернулли

есть вероятность ровно m выигрышей в турнире из n партий. По условию задачи p = 1/2. Для такого значения p требуется сравнить вероятности P4(3) и P8(5). Имеем:
P4(3)

P8(5)


=


C43(1/2)3(1/2)

C85(1/2)5(1/2)3


= 24


C43

C85


= 8 / 7 > 1.

Следовательно, P4(3) > P8(5).

Итак, у равносильного противника легче выиграть три партии из четырех, чем пять партий из восьми.

infourok.ru

Решение задач по теории вероятностей

Теория вероятностей ( для выполнения заданий ЕГЭ)

Купив лотерейный билет, мы можем выиграть, а можем и не выиграть; на очередных выборах правящая партия может победить, а может и не победить; завтра на уроке математики вас могут вызвать к доске, а могут и не вызвать.

Все это примеры случайных событий, которые при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти.

Примеры случайных событий:

А={в следующем году первый снег в Москве выпадет в воскресенье};

С={ при бросании кубика выпадет шестерка}.

Невозможные события:

F={ npu бросании кубика выпадет семерка}.

Если же событие при данных условиях обязательно произойдет, то его называют достоверным. Например:

G={в следующем году в Москве выпадет снег};

Н={при бросании кубика выпадет число очков, меньшее 7}.

Для лучшего понимания понятия «вероятность» приведём в качестве примера задачи:

1. В коробке лежит 10 красных, 1 зеленая и 2 синие ручки. Из нее наугад вынимается один предмет. Определите, какие из событий более вероятные, какие - менее вероятные:

А={будет вынута красная ручка} - вероятность 10/13.

В={будет вынута зеленая ручка} – вероятность 1/13.

С={6удет вынута синяя ручка} - вероятность 2/13.

D={будет вынута ручка} - вероятность равна 1.

Е={6удет вынут карандаш} – вероятность равна 0.

Пусть ровно m из этих n исходов приводят к наступлению некоторого события А. Будем называть такие исходы благоприятными для этого события (они ему благоприятствуют, т. е. событие А наступает при любом из этих исходов).

Классическое определение вероятности

Вероятностью случайного события А назовем дробь m/n, где n - число всех возможных исходов эксперимента, m - число исходов, благоприятных для события А:

Р(А)= m/n.

Например:

а) Р {выпадет герб} = 1/2

б)Р {на кубике выпадет четное число} = 3/6 = 1/2;

в)Р { из колоды вытянут туза} = 4/36 = 1/9

Задача1 . Колоду из 36 карт хорошо перетасовали и вынули из нее одну карту. Для каждого из следующих событий найдём его вероятность:

А = {вынули красную масть};

В = {вынули пику};

С = {вынули красную пику};

D = {вынули даму};

Е = {вынули даму пик}.

Решение:

Все пять событий относятся к одному и тому же случайному эксперименту - вытягиванию карты из полной колоды. Общее число исходов в этом эксперименте равно 36 (по числу разных карт), причем, поскольку колода хорошо перетасована, все они равновозможны, следовательно, n = 36.

Для события А благоприятный исход - любая карта красной масти. В колоде 18 карт красной масти, значит m = 18.

Следовательно, Р(А) = 18/36 = 1/2 = 0,5.

Для события В благоприятный исход - любая пик. Таких исходов 9 (столько в колоде карт пиковой масти):

m - 9 отсюда Р(В) = 9/36=1/4=0,25.

Совершенно аналогично находим число благоприятных исходов и вероятности для оставшихся событий:

для события С т = 0, Р(С) = 0/36 = 0;

для события D т = 4, Р(D) = 4/36 = 1/9 =0,111;

для события Е т = 1, Р(Е) = 1/36 = 0,028.

2. В двух коробках лежат карандаши одинаковой величины и формы, но разного цвета. В первой коробке 4 красных и 6 черных, а во второй 3 красных, 5 синих и 2 черных. Из обеих коробок вынимается наугад по одному карандашу. Какова вероят­ность того, Что оба карандаша окажутся красными?

Решение. Испытание состоит в том, что из каждой коробки '' вынимается по одному карандашу. Пусть событие А означает, что вынутый карандаш из первой коробки оказался красным, событие

В — что вынутый карандаш из второй коробки тоже красный. Тогда событие АВ означает, что оба вынутые карандаша оказались красными. Поскольку события А и В независимы, то P (АВ) = P (А) P (В). Вероятности событий А и В равны соответственно P(А) = 0,4, P(В) = 0,3. Следовательно, вероятность того, что оба карандаша оказались красными, равна P (АВ) =

=0,4 • 0,3 = 0,12.

Ответ: 0,12.

3. Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет четное число очков?

Решение: 1,3,5 – нечетные числа, 2,4,6 – четные. Число возможных исходов при бросании кости 6. Число благоприятных исходов 3 ( выпадение 2,4,6) . Таким образом вероятность впадения четного числа очков равнв:3/6=0,5.

Ответ:0,5.

4. Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 12 с персонажами мультфильмов и 18 с видами природы. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Маше достанется пазл с персонажем из мультфильма.

Ответ: 12/30=0,4.

5. На тарелке 15 пирожков: 6 с яблоками, 4 с капустой, 5 с печенью. Варя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с яблоками.

Ответ: 6/15=0,4.

6. На экзамене 40 билетов, Игорь не выучил 2 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

Решение: Число возможных исходов 40, число благоприятных исходов: 40-2=38.

Искомая вероятность равна: 38/40=0,95.

Ответ: 0,95.

7. При двукратном бросании игрального кубика в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что первый раз выпало меньше трех очков.

Решение:

Сумму в 6 очков можно получить следующими способами ( переберем варианты):1+5,2+4,3+3,4+2,5+1 – всего их пять, это и есть число возможных исходов. Из представленных вариантов также видно, что менее трёх очков при первом броске может выпасть только в двух случаях. Искомая вероятность равна:2/5=0,4.

Ответ:0,4.

8. Марина и Дина бросают кубик по одному разу. Выигрывает та девочка, у которой выпадет больше очков. Первой бросила Марина, у неё выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что Дина выиграет.

Решение: Для того, что бы выиграть у Дины должно выпасть 4, 5 или 6 очков. Т. е. 3 благоприятных исхода из 6 – ти возможных (1,2,3,4,5 или 6). 3/6= 0,5.

Ответ: 0,5.

6. Двое играю в кости – они по разу бросают игральный кубик. Выигрывает тот, у кого больше очков. Если выпадет поровну – ничья. Первый бросил кубик, и у него выпало 4 очка. Найдите вероятность того, что он выиграет.

Решение: Комбинации выпадения очков : 4:1, 4:2, 4:3, 4:4, 4:5, 4:6. Всего 6. Из них выигрышных для первого 3 (первые из перечисленных). Значит вероятность того, что он выиграет: 3/6=0,5.

Ответ: 0,5.

7. Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что первые два броска окончатся одинаково.

Решение: Найдем число возможных исходов, переберем все варианты бросков. В подобных задачах удобнее составит таблицу:

1-й бросок

2-й бросок

3-й бросок

1

орел

орел

орел

2

орел

орел

решка

3

орел

решка

решка

4

орел

решка

орел

5

решка

решка

решка

6

решка

решка

орел

7

решка

орел

орел

8

решка

орел

решка

Всего возможных исходов восемь.

Первые два одинаково могут закончиться в четырех случаях, это 1,2,5,6 варианты, т.е. благоприятных исходов 4. Искомая вероятность равна: 4/8=0,5.

Ответ: 0,5.

(Эту же задачу можно решить и при помощи произведения и суммы вероятностей, но в данном случае этот способ, по-моему, сложнее)

8. Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что только первые два броска окончатся одинаково.

Решение: В этой формулировке благоприятных исходов будет уже только 2 ( 2 и 6 варианты). А всего исходов, как и в предыдущей задаче, будет 8. Искомая вероятность равна: 2/8=0,25.

Ответ: 0,25.

9. При двукратном бросании игрального кубика в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало меньше 3 очков.

Решение: 6 очком могло выпасть только при следующих раскладах: 1 и 5, 2 и 4, 3 и 3, 5 и 1, 4 и 2. Всего 5 возможных вариантов. В первый раз выпадает меньше 3 очков только в двух случаях. Вычислим искомую вероятность: 2/5=0,4.

Ответ: 0,4.

10. Найдите вероятность того, что при бросании двух кубиков на каждом выпадет менее 4 очков.

Решение: Всего возможных комбинаций будет 36. Из них благоприятными будут 9:

1:1, 1:2, 1:3, 2:1,2:2, 2:3, 3:1,3:2,3:3 . Находим исходную вероятность: 9/36=0,25

Ответ: 0,25.

11. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 спортсменов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

Решение: Выясним чему равно число исходов, а так же число благоприятных исходов. Всего спортсменов 26, включая Руслана, значит играть он сможет с кем-либо из оставшихся 25-ти. Т.о. число возможных исходов – 25. Среди оставшихся 25-ти спортсменов 9( Руслана не считаем) из России. Значит, благоприятных исходов – 9. Искомая вероятность равна: 9/25=0,36.

Ответ: 0,36.

12. В классе 7 мальчиков и 14 девочек. 1 сентября случайным образом определяют двух дежурных на 2 сентября. Найдите вероятность того. Что будут дежурить два мальчика.

Решение: для каждого из 21- го ребенка может быть в паре один из оставшихся 20. Т.е. число возможных пар: 21*20=420. Благоприятными будут пары, когда для каждого из 7 мальчиков в пару попадет один из оставшихся 6-ти. Т.о. количество благоприятных исходов вычислим: 6*7=42.

Искомая вероятность: 42/420=0,1.

Ответ: 0,1.

13. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 56 шашистов, среди которых 12 участников из России, в том числе и Валерий Стремянкин. Найдите вероятность того, что в первом туре Валерий Стремянкин будет играть с каким-либо шашистом из России.

Решение: Всего Валерий Стремянкин может играть с каким-либо из 55 (исключая его самого из общего количества) шашистов. Благоприятными для нас являются 11 исходов из них (Из России всего12 шашистов, 1 из них сам Стремянкин, значит соперников возможных у него 11). Находим исходную вероятность: 11/55=0,2.

Ответ: 0,2.

14. В каждой пятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайным образом. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдет приз в своей банке.

Решение: В четырёх банках из пяти нет приза. Значит, исходная вероятность будет равна: 4/5=0,8.

Ответ: 0,8.

15. В среднем на 150 карманных фонариков приходится 3 неисправных. Какова вероятность купить исправных фонариков?

Решение:

Количество возможных исходов 150. Количество благоприятных исходов: 150-3=147. Вероятность купить исправный фонарик 147 к 150: 147/150 = 0,98.

Ответ: 0,98.

16. В среднем на 150 исправных карманных фонариков приходится 3 неисправных. Какова вероятность купить исправный фонарик?

Решение:

В этом случае число возможных исходов: 150+3=153 ( 150 исправных плюс 3 неисправных).

Число благоприятных исходов = 150 ( число исправных фонариков). Вероятность купить исправный фонарик равна: 150/153= 50/51 0,9804

17. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение: Сказано, что на 100 качественных сумок приходится 8 с дефектом, значит число возможных исходов 100+8=108. Число благоприятных исходов 100(качественные сумки). Вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна 1оо к 108: 100/108=0,9259…≈ 0, 93.

Ответ: 0,93.

18. Какая сумма, скорее всего, выпадет при бросании двух кубиков?

Решение: Возможные суммы : 1+1=2, 1+2=3, 1+3=4, 1+4=5, 1+5=6, 1+6=7,2+1=3, 2+2=4, 2+3=5, 2+4=6, 2+5=7, 2+6=8, 3+1=4, 3+2=5,3+3=6, 3+4=7,3+5=8,3+6=9, 4+1=5, 4+2=6, 4+3=7, 4+4=8, 4+5=9,4+6=10, 5+1=6, 5+2=7, 5+3=8, 5+4=9, 5+5=10,5+6=11, 6+1=7, 6+2=8,6+3=9, 6+4=10, 6+5=11, 6+6=12. Возможные суммы:

сумма

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

частота

1

2

3

4

5

6

5

4

3

2

1

Чаще всего выпадает сумма 7.

Ответ: 7.

19. Валя выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51.

Решение: Найдём количество всех трёхзначных чисел, делящихся на 51. Первое из них 102, далее 153 и т.д. Сколько будет таких чисел среди трёхзначных? 999: 51=19, 588…, т.е. чисел кратных 51 до 999 будет 19. Из них одно двузначное 51, значит 19-1=18. 18 трёхзначных чисел, делящихся на 51. А всего трёхзначных чисел : 999-99=900. Найдём искомую вероятность: 18/900=0,02.

Ответ:0,02

Все вышеперечисленные задачи решались, опираясь на классическое определение вероятности.

Сборники заданий ЕГЭ предлагают так же ряд задач, решаемых при помощи произведения и сложения вероятностей.

Произведение вероятностей.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на вероятность другого.

(Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, исчисленную в предположении, что первое событие уже произошло.

Условной вероятностью события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило.)

Сложение вероятностей.

Суммой событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий А или В, т. е. в наступлении события А, или события В, или обоих этих событий вместе, если они совместны.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий: .

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

20. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9, в третье - 0,8. Найти вероятность следующих событий:

а) только одно отделение получит газеты вовремя;

б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

Решение: Введем события

А1 = (газеты доставлены своевременно в первое отделение),

А2 = (газеты доставлены своевременно во второе отделение),

А3 = (газеты доставлены своевременно в третье отделение),

по условию P(A1)=0,95; P(A2) = 0,9; P(A3)=0,8.

Найдем вероятность события Х = (только одно отделение получит газеты вовремя). Событие Х произойдет, если

или газеты доставлены своевременно в 1 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 3,

или газеты доставлены своевременно в 2 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 3,

или газеты доставлены своевременно в 3 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 1.

Таким образом,

Так как события А1, А2, А3 - независимые, по теоремам сложения и умножения получаем

Найдем вероятность события У=(хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием). Введем противоположное событие = (все отделения получат газеты вовремя). Вероятность этого события

Тогда вероятность события У:

Ответ: 0,032; 0,316.

21. В двух коробках лежат карандаши одинаковой величины и формы, но разного цвета. В первой коробке 4 красных и 6 черных, а во второй 3 красных, 5 синих и 2 черных. Из обеих коробок вынимается наугад по одному карандашу. Какова вероят­ность того, Что оба карандаша окажутся красными?

Решение. Испытание состоит в том, что из каждой коробки '' вынимается по одному карандашу. Пусть событие А означает, что вынутый карандаш из первой коробки оказался красным, событие

В — что вынутый карандаш из второй коробки тоже красный. Тогда событие АВ означает, что оба вынутые карандаша оказались красными. Поскольку события А и В независимы, то P (АВ) = P (А) P (В). Вероятности событий А и В равны соответственно P(А) = 0,4, P(В) = 0,3. Следовательно, вероятность того, что оба карандаша оказались красными, равна P (АВ) =

=0,4 • 0,3 = 0,12.

Ответ: 0,12.

22. В случайном эксперименте монету бросают трижды. Найти вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Решение: Задачу можно решить, пользуясь классическим определением вероятности или теоремой о произведении вероятностей.

1 способ. Решим задачу, используя теорему о произведении вероятностей.

Орел не выпадет ни разу только в случае выпадения: решка, решка, решка. Вероятность выпадения решки в 1-ый раз =0,5 (1 из двух вариантов выпадения). Аналогично: вероятность выпадения решки во 2-ой раз=0,5. И в 3-ий раз тоже =0,5. Поскольку это вероятности зависимых событий, мы находим их произведение: 0,5*0,5*0,5=0,125.

Ответ: 0, 125.

2 способ. Решим задачу, используя классическое определение вероятности.

Переберем все варианты выпадения:

Орел, орел, орел

Орел, орел, решка

Орел, решка, орел

Орел, решка, решка

Решка, решка, решка

Решка, решка, орел

Решка, орел, орел

Решка, орел, решка.

Всего 8 возможных исходов, из которых только 1 благоприятный. Т.о. искомая вероятность равна: 1/8=0,125.

Ответ: 0,125.

23. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Решение: Эту задачу так же можно решить двумя способами.

1 способ. Решим, используя теорему о произведении. При каком сочетании может выпасть сумма 8? Найдём все комбинации: 2 и 6, 3 и 5, 4 и 4, 5 и 3, 6 и 2. Всего 5 комбинаций. 1/6 - вероятность выпадения 2 при первом бросании, и такая же вероятность выпадения будет у каждой из цифр. Подсчитаем вероятность выпадения комбинации 2 и 6: 1/6*1/6=1/36 (применили произведение вероятностей). Такая же вероятность будет у каждой из оставшихся 4-х комбинаций, каждая из которых дает нужную сумму 8.

1/36+1/36+1/36+1/36+1/36=5/36≈ 0,14. (применили сложения вероятностей).

Ответ: 0,14.

2 способ. Найдем число возможных исходов, переберём все варианты бросков. В подобных задачах удобнее составлять таблицу. Составим таблицу для суммы двух костей. ( все варианты суммы, которые могут выпасть):

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12

Всего исходов 36 (6 на 6). Благоприятных исходов 5 ( легко подсчитать в таблице). Вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна: 5/36≈0, 14.

Ответ: 0,14.

24. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Решение: 1способ. Найдем число возможных исходов, перебрав все варианты бросков. Составим таблицу, т.к. при решении подобных задач это удобно.

1-й бросок

2-й бросок

1

орел

орел

2

орел

решка

3

решка

орел

4

решка

решка

Всего возможных исходов 4. Орел выпадет один раз во втором и третьем вариантах. То есть число благоприятных исходов 2. Вероятность того, что орел выпадет ровно один раз равна: 2/4=0,5.

Ответ: 0,5.

2 способ.

Найдем все комбинации при двух бросках, когда орел выпадает ровно один раз:

Первая - орел и решка, 2-ая – решка и орел.

Вероятность выпадения орла (впрочем, как и решки) при одном броске равна 0, 5.

Найдем вероятность выпадения первой комбинации: орел и решка. Решка при втором броске должна выпасть при условии выпадения орла при первом броске, значит, применяем теорему о произведении :0,5*0,5=0,25.

Вероятность выпадения второй комбинации находим так же:0,5*0,5=0,25.

Вероятность появления одной из этих комбинаций находим, как сумму вероятностей:

0,25+0,25=0,5.

Ответ: 0,5.

25. Перед началом матча по футболу судья бросает монету, что бы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Белые» по очереди играет с командами «Красные», «Синие», и «Зеленые». Найдите вероятность того, что ровно в одном матче право первой владеть мячом получит команда «Белые».

Решение: Пусть разыгрывается первенство владения мячом между командами «Белые» и «Красные». При бросании монеты вероятность того, что право владеть мячом первой у команды «Белые» равна 0,5. Вероятность, что у неё не будет этого права тоже равна 0,5. Такие же вероятности будут и при разыгрывании первенства владения мячом по отношению команд «Синие» и «Зеленые».

Для того, что бы ровно в одном матче право первой владеть мячом получила команда «Белые» рассмотрим все возможные расклады:

  1. При розыгрыше с командой «Красные» - первой получила мяч команда «Белые» ( вероятность 0,5), значит при розыгрыше с командами «Синие» и «Зелёные» первой мяч команда «Белые» не получила( вероятности по 0,5) . Вероятность этого расклада находим как произведение вероятностей, т.к. эти события должны произойти одновременно : 0,5*0,5*0,5=0,125 .

  2. При розыгрыше с командой «Красные» - первой получила мяч команда «Белые» ( вероятность 0,5), значит при розыгрыше с командами «Синие» и «Зелёные» первой мяч команда «Белые» не получила( вероятности по 0,5) . Вероятность этого расклада находим как произведение вероятностей, т.к. эти события должны произойти одновременно : 0,5*0,5*0,5=0,125 .

  3. При розыгрыше с командой «Зелёные» - первой получила мяч команда «Белые» ( вероятность 0,5), значит при розыгрыше с командами «Синие» и «Красные» первой мяч команда «Белые» не получила( вероятности по 0,5) . Вероятность этого расклада находим как произведение вероятностей, т.к. эти события должны произойти одновременно : 0,5*0,5*0,5=0,125 .

Других раскладов, учитывая условие задачи, быть не может.

Т.к. каждый из этих раскладов независимые события, из которых должно произойти одно,

то искомую вероятность находим как сумму: 0,125+0,125+0,125 = 0,375.

Ответ: 0,375.

26. Если гроссмейстер А играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б с вероятностью 0,6. Если А играет чёрными, то А выигрывает у Б с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А и Б играют две партии, причем АО второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А выиграет оба раза.

Решение: Один раз гроссмейстер А будет играть белыми и вероятность его выигрыша в этом случае согласно условию равна 0,6. Второй раз гроссмейстер А будет играть обязательно черными (т.к. цвет фигур меняется) и вероятность его выигрыша равна в этом случае 0,4. Поскольку эти два события совместны, то их вероятности перемножаем: 0,6*0,4=0,24.

Ответ: 0,24.

27. В некоторой местности наблюдении показали:

  1. Если июньское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1.

  2. Если июньское утро пасмурное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,4.

  3. Вероятность того, что утро в июне будет пасмурным, равна 0,3.

Найдите вероятность того, что в случайно взятый июньский день дождя не будет.

Решение: Возьмем случайно взятый июньский день. Утро в этот день может быть пасмурным( вероятность 0,3) или ясным (вероятность 1-0,3=0,7). Если утро пасмурное, то вероятность того, что дождя не будет равна 1-0,4=0,6. Найдем вероятность того, что в при пасмурном утре пойдет дождь: 0,3*0,6=0,18 (вероятности перемножаются, потому что эти события совместные).

Если утро ясное, то вероятность, что дождя не будет равна 1-0,1=0,9. Найдем вероятность того, что при ясном утре пойдет дождь: 0,7*0,9=0,63 (вероятности перемножаются, потому что эти события совместные). Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: 0,18+0,63=0,81.

Ответ: 0,81.

28. Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар.

Первая фабрика выпускает 30 % этих стекол, вторая 70 %. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая 4 % . Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение: 0,3*0,03=0,009 0,7*0,04=0,028 0,028+0,009=0,037. В ответе ответ:0,043????????

Используемые источники:

matematikalegko.ru

Типовые тестовые задания «Математика. ЕГЭ» 2013 г. под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. Изд-во «Экзамен» Москва 2013.

«ЕГЭ. 2013. Математика» Авторы-составители: И.Р.Высоцкий, Д.Д. Гущин. АСТ. Астрель. Москва

Журнал «Математика в школе», №5 2011г.

infourok.ru

Введение в теорию вероятностей - тест 5

Главная / Математика / Введение в теорию вероятностей / Тест 5 Упражнение 1:
Номер 1
Правильную монету подбросили 14 раз, и выпали только гербы. С какой вероятностью при 15-м броске выпадет герб?

Ответ:

&nbsp(1) 1/2&nbsp

&nbsp(2) 1/215&nbsp

&nbsp(3) 15/215&nbsp

&nbsp(4) 15!/215&nbsp



Номер 2
Симметричную игральную кость бросали 29 раз, и ни разу не выпало шесть очков. С какой вероятностью при 30-м броске снова не выпадет шесть очков?

Ответ: &nbsp(1) &nbsp
&nbsp(2) &nbsp
&nbsp(3) &nbsp
&nbsp(4) &nbsp

Номер 3
Из урны, содержащей 10 одинаковых на ощупь шаров, среди которых один черный, наугад вынимали по одному шару 12 раз, всякий раз возвращая вынутый шар обратно и перемешивая шары в урне. Все 12 раз был вынут черный шар. С какой вероятностью следующий наудачу вынутый шар снова окажется черным?

Ответ:

&nbsp(1) 0, 1&nbsp

&nbsp(2) (0, 1)12&nbsp

&nbsp(3) (0, 1)13&nbsp

&nbsp(4) 13 · (0, 1)13&nbsp



Номер 4
Правильную монету подбросили 14 раз, и выпали только гербы. С какой вероятностью при 15-м броске выпадет решка?

Ответ:

&nbsp(1) 1/2&nbsp

&nbsp(2) 1/215&nbsp

&nbsp(3) 15/215&nbsp

&nbsp(4) 15!/215&nbsp



Номер 5
Симметричную игральную кость бросали 29 раз, и ни разу не выпало шесть очков. С какой вероятностью при 30-м броске выпадет шесть очков?

Ответ:

&nbsp(1) (5/6)29 · (1/6)&nbsp

&nbsp(2) 1/6&nbsp

&nbsp(3) 5 · (5/6)30&nbsp

&nbsp(4) 1&nbsp



Упражнение 2:
Номер 1
Пять раз подбрасывают правильную монету. Выберите верные высказывания.

Ответ:

&nbsp(1) пять раз выпадет герб с вероятностью 1/32&nbsp

&nbsp(2) при первых трех бросках выпадут гербы с вероятностью 1/8&nbsp

&nbsp(3) один герб и четыре решки выпадут с вероятностью 1/32&nbsp

&nbsp(4) два герба и три решки выпадут с вероятностью 5/16&nbsp



Номер 2
Стрелок, попадающий в цель при одном выстреле с вероятностью 0,3, делает два выстрела. Результаты выстрелов независимы. Выберите верное высказывание.

Ответ:

&nbsp(1) вероятность попасть ровно один раз равна 0,3&nbsp

&nbsp(2) вероятность попасть дважды равна 0,6&nbsp

&nbsp(3) вероятность попасть при втором выстреле, если при первом был промах, равна 0,21&nbsp

&nbsp(4) вероятность попасть ровно один раз равна 0,42&nbsp



Номер 3
Трижды бросают правильную монету. Выберите верные высказывания.

Ответ:

&nbsp(1) три решки выпадут с вероятностью 3/8&nbsp

&nbsp(2) один герб и две решки выпадут с вероятностью 3/8&nbsp

&nbsp(3) три герба выпадут с вероятностью 1/8&nbsp

&nbsp(4) одна решка и два герба выпадут с вероятностью 1/8&nbsp



Номер 4
Дважды бросают симметричную игральную кость. Выберите верные высказывания.

Ответ:

&nbsp(1) три очка в сумме выпадут с вероятностью 1/36&nbsp

&nbsp(2) выпадут две единицы с вероятностью 1/36&nbsp

&nbsp(3) выпадет ровно одна тройка с вероятностью 5/36&nbsp

&nbsp(4) выпадет ровно одна единица с вероятностью 5/18&nbsp



Номер 5
Пять раз подбрасывают правильную монету. Выберите верные высказывания.

Ответ:

&nbsp(1) пять раз выпадет герб с вероятностью 1/5&nbsp

&nbsp(2) при третьем броске выпадет герб с вероятностью 1/8&nbsp

&nbsp(3) если при четырех бросках выпал орел, то при пятом броске вероятнее выпасть решке&nbsp

&nbsp(4) пять решек выпадут с вероятностью 1/32&nbsp



Упражнение 3:
Номер 1
Какая формула вычисляет вероятность получить ровно три попадания при пяти выстрелах, если вероятность попадания в каждом равна 0,9 и результаты выстрелов независимы?

Ответ:

&nbsp(1) 3 · 0,93 · 0,12&nbsp

&nbsp(2) 0,93 · 0,12&nbsp

&nbsp(3) 10 · 0,93 · 0,12&nbsp

&nbsp(4) 3/5&nbsp



Номер 2
Какая формула вычисляет вероятность получить ровно семь попаданий при восьми выстрелах, если вероятность попадания в каждом равна 0,9 и результаты выстрелов независимы?

Ответ:

&nbsp(1) 0,97 · 0,1&nbsp

&nbsp(2) 8 · 0,97 · 0,1&nbsp

&nbsp(3) 7 · 0,97 · 0,1&nbsp

&nbsp(4) 1 - 0,98&nbsp



Номер 3
Какая формула вычисляет вероятность не получить ни одного попадания при пяти выстрелах, если вероятность попадания в каждом равна 0,9 и результаты выстрелов независимы?

Ответ:

&nbsp(1) 0,15&nbsp

&nbsp(2) 0,95&nbsp

&nbsp(3) 1 - 0,95&nbsp

&nbsp(4) 1 - 0,15&nbsp



Номер 4
Какая из формул вычисляет вероятность при семи подбрасываниях симметричной игральной кости ни разу не выбросить шесть очков?

Ответ:

&nbsp(1) 7 · (5/6)7&nbsp

&nbsp(2) 1 - (1/6)7&nbsp

&nbsp(3) (5/6)7&nbsp

&nbsp(4) 1/7&nbsp



Номер 5
Какая из формул вычисляет вероятность при шести подбрасываниях симметричной игральной кости ровно один раз выбросить шесть очков?

Ответ:

&nbsp(1) (5/6)6&nbsp

&nbsp(2) (5/6)5&nbsp

&nbsp(3) 1 - (1/6)7&nbsp

&nbsp(4) 1&nbsp



Упражнение 4:
Номер 1
Стрелок попадает в цель при любом выстреле с вероятностью 0,3. Результаты выстрелов независимы. Какова вероятность того, что первое попадание случится только при пятом выстреле?

Ответ:

&nbsp(1) 0,74&nbsp

&nbsp(2) 0,3&nbsp

&nbsp(3) 5 · 0,74 · 0,3&nbsp

&nbsp(4) 0,74 · 0,3&nbsp



Номер 2
Стрелок попадает в цель при любом выстреле с вероятностью 0,3. Результаты выстрелов независимы. Какова вероятность того, что первое попадание случится не ранее, чем при пятом выстреле?

Ответ:

&nbsp(1) 0,74&nbsp

&nbsp(2) 0,3&nbsp

&nbsp(3) 5 · 0,74 · 0,3&nbsp

&nbsp(4) 0,74 · 0,3&nbsp



Номер 3
Симметричную игральную кость бросают до тех пор, пока на кости впервые не выпадет четное число очков. Какова вероятность того, что придется бросить кость пять раз?

Ответ:

&nbsp(1) 5/32&nbsp

&nbsp(2) 1/32&nbsp

&nbsp(3) 5/6&nbsp

&nbsp(4) 1/16&nbsp



Номер 4
Стрелок попадает в цель при любом выстреле с вероятностью 0,1. Результаты выстрелов независимы. Какова вероятность того, что первое попадание случится при третьем выстреле?

Ответ:

&nbsp(1) 0,81&nbsp

&nbsp(2) 0,1&nbsp

&nbsp(3) 0,243&nbsp

&nbsp(4) 0,081&nbsp



Номер 5
Стрелок, попадающий в цель при любом выстреле с вероятностью 0,1, ведет стрельбу до первого попадания. Результаты выстрелов независимы. Какова вероятность того, что потребуется не менее трех патронов?

Ответ:

&nbsp(1) 0,81&nbsp

&nbsp(2) 0,1&nbsp

&nbsp(3) 0,243&nbsp

&nbsp(4) 0,081&nbsp



Упражнение 5:
Номер 1
На отрезок [0, 1] наудачу и независимо друг от друга бросают пять точек. Какова вероятность того, что две из них попадут на левую половину отрезка, еще две — на отрезок [0,5, 0,7] и одна окажется правее точки 0,7?

Ответ:

&nbsp(1) 0,09&nbsp

&nbsp(2) 0,003&nbsp

&nbsp(3) 0,36&nbsp

&nbsp(4) 0,9&nbsp



Номер 2
Симметричную игральную кость подбрасывают 4 раза. Какова вероятность получить при этом одну тройку и две шестерки?

Ответ:

&nbsp(1) 1/216&nbsp

&nbsp(2) 1/324&nbsp

&nbsp(3) 1/27&nbsp

&nbsp(4) 1/36&nbsp



Номер 3
Монета умеет с равными вероятностями выпадать гербом, решкой и вставать на ребро. Какова вероятность того, что при семи подбрасываниях этой монеты она трижды встанет на ребро и два раза выпадет решкой?

Ответ:

&nbsp(1) 1/37&nbsp

&nbsp(2) 210/37&nbsp

&nbsp(3) 7!/37&nbsp

&nbsp(4) 7/37&nbsp



Номер 4
Симметричную игральную кость подбрасывают 5 раз. Какова вероятность при этом трижды получить четное число очков и по разу — тройку и пятерку?

Ответ:

&nbsp(1) 5/72&nbsp

&nbsp(2) 1/65&nbsp

&nbsp(3) 8/65&nbsp

&nbsp(4) 3/65&nbsp



Номер 5
Симметричную игральную кость подбрасывают 6 раз. Какова вероятность при этом выбросить каждую грань по разу?

Ответ:

&nbsp(1) 1/66&nbsp

&nbsp(2) 1/65&nbsp

&nbsp(3) 56/66&nbsp

&nbsp(4) 6!/66&nbsp



Упражнение 6:
Номер 1
Прибор состоит из 1000 независимо работающих элементов. Вероятность отказа любого из них при включении равна 0,001. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что откажут ровно 2 элемента.

Ответ:

&nbsp(1) 0,002&nbsp

&nbsp(2) 0,184&nbsp

&nbsp(3) 0,271&nbsp

&nbsp(4) 0,368&nbsp



Номер 2
Прибор состоит из 1000 независимо работающих элементов. Вероятность отказа любого из них при включении равна 0,001. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что откажет ровно 1 элемент.

Ответ:

&nbsp(1) 0,002&nbsp

&nbsp(2) 0,184&nbsp

&nbsp(3) 0,271&nbsp

&nbsp(4) 0,368&nbsp



Номер 3
Прибор состоит из 100 независимо работающих элементов. Вероятность отказа любого из них при включении равна 0,01. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что не откажет ни один элемент.

Ответ:

&nbsp(1) 0,002&nbsp

&nbsp(2) 0,184&nbsp

&nbsp(3) 0,271&nbsp

&nbsp(4) 0,368&nbsp



Номер 4
Каждая из 1000 деталей с вероятностью 0,001 может оказаться бракованной. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что ровно две детали будут бракованными.

Ответ:

&nbsp(1) 0,002&nbsp

&nbsp(2) 0,184&nbsp

&nbsp(3) 0,271&nbsp

&nbsp(4) 0,368&nbsp



Номер 5
Каждая из 1000 деталей с вероятностью 0,001 может оказаться бракованной. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что ровно одна деталь будет бракованной.

Ответ:

&nbsp(1) 0,002&nbsp

&nbsp(2) 0,184&nbsp

&nbsp(3) 0,271&nbsp

&nbsp(4) 0,368&nbsp



eljob.ru

монету бросают 7 раз какова вероятность того что герб выпадет не менее трех раз

Проще считать через противоположное событие. P(k≥3)=1-P(k < 3)=1-(p₀+p₁+p₂) P₀=C₇⁰•0.5⁷ P₁=C₇¹•0.5⁷ P₂=C₇²•0.5⁷ P(k≥3)=1-0.5⁷•(1+7+21)≈0.773

если на манете с двух сторон орёл

Седьмого и один раз, и бросать ничего не надо !!!

И в чем вопрос. Вы же уже сами объяснили как решать эту задачу. Формулу Бернулли Вы знаете, как ее применить тоже знаете, данные у Вас все есть. Вы хотите, чтобы кто-то другой за Вас кнопки на калькуляторе понажимал? Самому в лом что ли? В чем проблема то?

99/128=0,7734=77,34 процента. Проще посчитать вероятность того, что герб выпадет 0,1 и 2 раза. А потом эти вероятности сложить и из единицы вычесть. Получишь вероятность выпадения орла не менее трех раз. А еще проще воспользоваться треугольником Паскаля.. . Но это уже не для слабых умов.

что сложного в треугольнике Паскаля? Берешь номер всех испытаний и ищешь нужное (тупо считаешь: "раз, два, три.. "). Даже ребенок сможет, в школьной программе комбинаторика с 5 класса. Ой, рассуждение правильное, молодец!

монета бросается 7 раз найти вероятность того что герб появится не меннее 6 раз

touch.otvet.mail.ru

Классическое определение вероятности | matematicus.ru

Вероятностью события А называют отношение m на n и определяется по формуле:

m
— числа всех благоприятных комбинаций этому событию исходов эксперимента;
n — общее число всех возможных исходов эксперимента.
Вероятность события А обозначается Р(А).
Основные понятия классической теории вероятности и свойство вероятности рассмотрено здесь.
Рассмотрим примеры, основанные на классическом определение вероятностей.


Пример 1

В урне 10 красных и 8 синих шаров. Наугад вынимают один. Какова вероятность того, что вынут шар красного цвета?

Решение

$p = \frac{{10}}{{18}} = \frac{5}{9}$


Пример 2
В урне 2 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.
Решение

$p = \frac{{2 — 1}}{{2 + 5 — 1}} = \frac{1}{6}$


Пример 3
Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность следующих событий:
А1 — появление нечетного числа очков;
A— появление не менее 3 очков;
A3 — появление не более 5 очков.
Решение

  1. Возможные варианты выпадения очков при одном бросании кости: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Нечётные — 1, 3, 5. Тогда вероятность равна:

$p({A_1}) = \frac{m}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

2. Появление не менее 3 очков — это очки: 3, 4, 5, 6, следовательно

$p({A_2}) = \frac{m}{n} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

3. Появление не более 5 очков — это очки: 1, 2, 3, 4, 5, тогда имеем

$p({A_3}) = \frac{m}{n} = \frac{5}{6} $


Пример 4
 Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появился «герб».
Решение
Найдем все комбинации n подбрасывания монеты два раза, имеем:

«решка» — «герб»
«герб» — «решка»
«решка» — «решка»
«герб» — «герб»

Составим все комбинации события m А — «при бросании монеты два раза хотя бы один раз появился герб»

«решка» — «герб»
«герб» — «решка»
«герб» — «герб»

Тогда

$p({A}) = \frac{m}{n} = \frac{3}{4} $


Пример 5
Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятности следующих событий:

  1. А1 — сумма выпавших очков равна 9;

2. A— произведение выпавших очков равно 6;
3. A3 — сумма выпавших очков больше 4.
Решение
Составим всевозможные комбинаций, при которых сумма очков двух игральных костей равна 9

Первая кость Вторая кость
Три Шесть
Шесть Три
Пять Четыре
Четыре Пять

Итак, m=4
Общее количество комбинаций равно

n=6·6=36

$p({A_1}) = \frac{m}{n} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

2. Составим таблицу, при котором произведение выпавших очков равно 6;

Первая кость Вторая кость
Три Два
Два Три
Шесть Один
Один Шесть

m=4, n=6·6=36
$p({A_2}) = \frac{m}{n} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

3. Чтобы найти сумму выпавших очков больше 4, сначала найдём сумму очков, которая меньше 4, для этого составим таблицу

Первая кость Вторая кость
Один Два
Два Один
Один Один
Два Два
Один Три
Три Один

m=36-6=30, n=6·6=36
Найдем событие A3 — сумма выпавших очков больше 4

$p({A_3}) = \frac{m}{n} = \frac{30}{36} = \frac{15}{18} $


Пример 6
  В коробке 6 одинаковых, занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.
Решение
Событие «номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке» может произойти в одном случае, то есть m=1.
По формуле комбинаторики перестановка без повторений найдем число комбинаций извлечения шести кубиков

$n = {P_6} = 6! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6 = 720$

  Вероятность извлеченных кубиков в возрастающем порядке равна:

$P\left( A \right) = \frac{1}{{720}}$


Пример 7
Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры
Решение
А — «абонент набрал нужные три цифры»
m — число благоприятных комбинаций событию А — одно;
n — число комбинаций, которыми можно набрать три цифры и вычисляется по формуле размещение без повторения, тогда


Пример 8
В пачке 20 перфокарт, помеченных номерами 101, 102, … , 120 и произвольно расположенных. Перфораторщица наудачу извлекает две карты. Найти вероятность того, что извлечены перфокарты с номерами 101 и 120.
Решение 
Событие А — «перфораторщица наудачу извлекает две карты с номерами 101 и 120».
Общее число комбинаций выбора 2-ух карт из 20 равно:
$C_{20}^2 = \frac{{20!}}{{2!\cdot18!}} = \frac{{19\cdot20}}{{1\cdot2}} = 190$
Количество благоприятных  комбинаций событию А — одно, получаем
$P\left( A \right) = \frac{1}{{C_{20}^2}} = \frac{1}{{190}}$


Пример 9
В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.
Решение
А — «хотя бы одна из взятых деталей окрашена»
Событие A может произойти в трёх случаях:
«одна деталь окрашена», «две детали окрашены», «три детали окрашены»
Противоположное событие $\overline A $ событию  A, это «все три детали не окрашены», получаем вероятность

А противоположное событие исходя из условия задачи находится по формуле

Общее число исходов извлечённых из ящика четыре окрашенных деталей из десяти равно
$m = $C_{6}^4$
Число извлечённых из ящика трех деталей из десяти
$m = $C_{10}^4$


Пример 10
В урне 3 белых и 7 черных. Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.
Решение
Пусть событие A —  вероятность того, что оба шара будут белыми.
Найдем общее число случаев по формуле сочетание без повторений

Количество благоприятных случаев выбора двух белых шаров из трёх равно

Получаем решение, воспользовавшись общей формулой теории вероятностей


Пример 11
В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
Решение
А — «три извлеченные детали сборщиком окажутся окрашенными».
Здесь, 
m— количество комбинаций извлечения трех окрашенных деталей из десяти;
n—  общее число извлечения трех деталей из пятнадцати.


Пример 12
Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.
Решение
А — «студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса»


Пример 13
В коробке 5 белых и 7 красных шара. Из нее одновременно наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что они разного цвета.
Решение
$n = C_{7 + 5}^2$
$m = C_5^1 \cdot C_7^1$
Через формулу комбинаторики сочетание без повторений, найдём вероятность вынуть шары разных цветов (один красный и один белый шар), равна


Пример 14
На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа Львовского завода
Решение
А — «из пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа Львовского завода».
Число способов выбрать три кинескопа Львовского завода из десяти кинескопов Львовского завода равно $C_{10}^3$
Число способов выбрать два кинескопа, которые не изготовлены Львовским заводом из пяти равно $C_{5}^2$
Таким образом
$m = C_{10}^3 \cdot C_5^2$
Число комбинаций, которыми можно выбрать пять кинескопов из пятнадцати
$n=C_{15}^5$
Следовательно,


Пример 15
  Устройство состоит из пяти элементов, два из которых изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.
 
Решение
$P\left( A \right) = \frac{{C_3^2}}{{C_5^2}} = \frac{3}{{10}} = 0,3$


Пример 16
В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся:
1) одно окрашенное изделие;
2) два окрашенных изделия;
3) хотя бы одно окрашенное изделие.
Решение
1)  А — «среди двух извлеченных изделий окажется одно окрашенное изделие»
Число способов выбрать одно изделие из трех окрашенных изделий $C_{3}^1$
Неокрашенное изделие можно выбрать $C_{2}^1$
тогда m равно
$m = $C_{3}^1 \cdot C_{2}^1$
Общее число способов, которыми можно выбрать два изделия из пяти равно
$n=C_{5}^2$
Имеем,

2)  В — «два извлеченных изделия окрашены»
Число комбинаций извлечения двух окрашенных изделий $m = $C_{3}^2$
Общее число комбинаций извлечения два изделия из пяти $n=C_{5}^2$
 
3)  С — «извлечено хотя бы одно окрашенное изделие»
Число благоприятных способов извлечения двух изделий нет двух неокрашенных соответствует единице. Тогда:

www.matematicus.ru

а) герб выпадет ровно два раза; б) герб выпадет не менее двух раз

По формуле Бернулли: P(k,n)=(C из n по k)•p^k•(1-p)^(n-k) с параметрами p=q=0,5, n=6; а) P(2,5)=(C из 6 по 2)•0.5²•0.5^4=6•5/2•0,5^6= 0,234375; б) Не менее двух это обратное событие тому, что менее двух Р (k ≥ 2)=1-P(k < 2)=P(0,6)+ P(1,6) P(0,6)=(C из 6 по 0)•0.5^6= 0,015625; P(1,5)=(C из 6 по 1)•0.5^6= 0,09375; Р (k ≥ 2)=1-P(k < 2)=0,890625.

2 раза один к трем, мнеее один к шести

Вероятность пятьдесят на пятьдесят: или выпадет или нет. ))

вероятность 4 к 6

используй комбинационные формулы. (100%) без понимания этого тебе не понять ТВ

Если по формулам, получается так: Нам извесно: n=6(общее число случаев) p=0,5(вероятность выпадения для орла и решки одинакова) соответственно q=0,5(1-0,5) По формуле Бернули: 1) Р6(6-нижний индекс) (2)=C два из шести*0,5в квадрате*0,5 в четвёртой= Дробь 6!/2!4!*0,25*0,0625=15*0,25*0,0625=0,2343 Ответ вероятность того, что герб выпадет ровно 2 раза=0,23 Если нужно решить вторую пишите в коменты.

1. 15/64 2. 7/64 Вроде так, если не обсчитался.

touch.otvet.mail.ru


Смотрите также