Монету подбросили 7 раз дисперсия появления герба равна


Туплю. Чему равна дисперсия (теорвер) бросания монетки (предположим,…

? LiveJournal
  • Main
  • Ratings
  • Interesting
  • 🏠#ISTAYHOME
  • Disable ads
Login
  • Login
  • CREATE BLOG Join

xen0n.livejournal.com

Решение. Вероятность появления «герба» при одном бросании монеты равна 0,5 — Студопедия

Вероятность появления «герба» при одном бросании монеты равна 0,5. В серии из 4 подбрасываний монеты случайная величина Х может принимать следующие значения: 0,1,2,3,4. Чтобы составить закон распределения с.в. Х, нужно найти вероятности этих событий:

Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления всех вероятностей:

Итак, теперь мы можем записать закон распределения случайной величины Х:

0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625

Сделаем проверку:

- условие нормировки выполнено.

Найдем функцию распределения с.в. Х. По определению функции распределения:

Рассмотрим несколько промежутков значений для х:

· при

· при

· при

· при

· при

· при

Итак, запишем функцию распределения:

Построим ее график:

Вычислим математическое ожидание случайной величины Х:

Используя свойство дисперсии, вычислим ее:

Задача 12.2.2.Закон распределения случайной величины Х имеет вид:

Найти вероятности , и дисперсию D(X), если математическое ожидание М(Х)=2,1.

studopedia.ru

Решение. 1. Так как монету подбрасывают 4 раза, то герб может появится либо все 4 раза, либо 3 раза, либо 2 раза — Студопедия

1. Так как монету подбрасывают 4 раза, то герб может появится либо все 4 раза, либо 3 раза, либо 2 раза, либо 1 раз, либо не появится, т. е. 4 раза выпадет цифра. Поэтому возможные значения случайной величины X : x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2; x4 = 3; x5 = 4. Поскольку подбрасывания монеты 4 раза являются повторными независимыми испытаниями относительно появления герба, то вероятность возможных значений случайной величины X находится по формуле Бернулли

,

где п = 4 – число всех испытаний;

k = 0;1;2;3;4 – число возможных появлений герба;

– вероятность появления герба в одном испытании, т. е. при одном бросании монеты;

; – вероятность противоположного события, т. е. выпадение цифры в одном испытании.

Если х1 = 0, то

.

Если х2 = 1, то

.

Если х3 = 2, то

.

Если х4 = 3, то

.

Если х5 = 4, то

.

Контроль вычислений: .

Таким образом, ряд распределения случайной величины X имеет вид

2. В прямоугольной системе координат строим точки с координатами , , ; , , соединяем эти точки отрезками.

Полученная ломаная является полигоном распределения случайной величины X (рис. 3).

Рис. 3

Многоугольник распределения приведен на рис. 4.

Рис. 4

3. Найдем функцию распределения случайной величины X.

Функция F(x) определена для всех . Значения случайной величины x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 4 разбивают числовую прямую на 6 интервалов (рис. 5).

Рис. 5

Для значений x, принадлежащих интервалу (xj; xi), . Найдем значения F(x) на каждом интервале.


Пусть x Î (–¥; 0]. В интервал (–¥; x) не попадает ни одно значение случайной величины X (рис. 6).

Рис. 6

Значит, .

Пусть x Î (0; 1]. Условию X < x при x Î (0; 1] удовлетворяет только одно значение X = 0 (рис. 7) с вероятностью , поэтому .

Рис. 7

Пусть x Î (1; 2]. Условию X < x при x Î (1; 2] удовлетворяют два значения X = 0, X = 1 с вероятностями и соответственно, поэтому .

Аналогично, если , то .

если , то .

если , то .

Таким образом,

График этой функции представлен на рис. 8.

рис. 8

Тест 3.2. Случайная величина задана рядом распределения

Вместо знака «?» следует поставить число:

1) 0;

2) 0,6;

3) 0,2;

4) 0,1;

5) 0,3.

Тест 3.3.В партии из 10 деталей 8 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Случайная величина X – число стандартных деталей среди отобранных. Все возможные значения случайной величины X включают:

1) {0};

2) {0;1};

3) {1;2};

4) {0;1;2};


5) {0;1;2;3;4;5;6;7;8}.

Тест 3.4. Случайная величина, задана рядом распределения

если x Î [1;5], F(x) равно:

1) 0;

2) 0,6;

3) 0,3;

4) 1;

5) 0,9.

studopedia.ru

Занятие №3: Типовые задачи 3.2

Занятие №3: Типовые задачи 3.2

  Типовые задачи 3.2


В этом разделе приводятся задачи на вычисление вероятности совместного наступления ряда независимых событий.

Задача 1.   Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет "герб". Какова вероятность того, что монету придется подбрасывать:

1) ровно 5 раз;

2) не менее пяти раз;

3) не более пяти раз?

Решение.  

Событие, о котором идет речь в первом вопросе, часто обозначается РРРРГ. Следует, однако, заметить, что одной и той же буквой Р здесь четырежды обозначены разные события: в первом случае - событие "при первом бросании монеты выпадет решка", во втором случае - событие "при втором бросании монеты выпадет решка" и т.д. Более точным было бы обозначение Р1Р2Р3Р4Г5 . Это позволило бы более свободно обращаться с отдельными множителями. Но все это достаточно очевидно и, как правило, не приводит ни к каким недоразумениям. В выражении РРРРГ множители Р, Р, Р, Р, Г (точнее было бы сказать Р1, Р2, Р34, Г5) представляют собой независимые события. Следовательно,

P(РРРРГ) = P(Р)P(Р)P(Р)P(Р)P(Г). Принимая, далее, во внимание, что

получаем окончательно


P(РРРРГ) =

1
2


1
2


1
2


1
2


1
2

=

 1
32

.

Пусть теперь A - событие, о котором идет речь во втором вопросе задачи: "до выпадения первого герба монету придется подбрасывать не менее пяти раз". Такое событие наступает тогда и только тогда, когда при четырех первых бросаниях монеты выпадет "решка". Иными словами, A = РРРР. Отсюда

P(A) = (1 / 2)4 = 1 / 16.

для вычисления вероятности события B "до первого выпадения "герба" монету придется подбрасывать не более пяти раз" заметим, что B = РРРРР. Следовательно,

P(B) = 1 - P(B) 1 - (1 / 2)5 = 31 / 32.

Задача 2.   Студент пользуется тремя библиотеками, комплектование которых осуществляется независимо друг от друга. Нужная студенту книга имеется в данных библиотеках с вероятностями 0,5; 0,6; 0,7 соответственно. Какова вероятность того, что студент достанет нужную ему книгу в этих библиотеках?

Решение.   Через A, B и C обозначим события, состоящие в том, что нужная студенту книга имеется в первой, второй, третьей библиотеках соответственно. По условию

P(A) = 0,7; P(B) = 0,6; P(C) = 0,7.

Пусть D - событие, состоящее в том, что хотя бы в одной из данных библиотек нужная студенту книга имеется. Нам предстоит найти вероятность этого события P(D). Совсем просто отыскивается вероятность события

D. Очевидно, что

D = A B C

События A, B, C независимы, поскольку независимы события A, B, C. Следовательно,

P(D) = P(A B C) = P(A)P(B)P(C) = 0,5*0,4*0,3 = 0,06.

Отсюда получаем и искомую вероятность

P(D) = 1 - P(D) = 1 - 0,06 = 0,94.

mytwims.narod.ru

3.2. Закон распределения дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан в виде ряда распределения, аналитически, графически, функцией распределения.

Пусть X – дискретная случайная величина, x1; x2; …; xn – ее значения. Каждому xi поставим в соответствие ее вероятность, т. е. P(X = xi) = pi, где i = 1; 2;…; n (аналитический вид закона распределения).

Рядом распределения дискретной случайной величины называется таблица

xi

x1

x2

xn

pi

p1

p2

pn

в которой перечислены возможные значения x1; x2; …; xn случайной величины и соответствующие им вероятности p1; p2; …; pn. Так как события «Х = х1»; «Х = х2»; …; «Х = хп» образуют полную группу, то .

Графически случайная величина задается в виде полигона или многоугольника распределения.

Полигоном распределения вероятностей называется ломаная линия, состоящая из отрезков, соединяющих точки с координатами (xi; pi).

Многоугольником распределения называется часть плоскости, ограниченная полигоном распределения вероятностей и прямыми x = x1, x = xn и y = 0.

Функцией распределения случайной величины X называется вероятность P(X < x) того, что случайная величина x примет значение, меньшее x, т. е. F(X) = P(X < x).

Значение функции распределения дискретной случайной величины X вычисляется по формуле

,

где суммирование ведется по всем значениям i, для которых xi < x.

Основные свойства функции распределения:

1) ;

2) функция распределения монотонно возрастает, т. е. если x1 < x2, то;

3) функция распределения непрерывна слева;

4) ;.

Пример 3.8. Монету бросают 4 раза. Случайная величина X – число появлений герба. Требуется выполнить следующее:

1) построить ряд распределения;

2) построить полигон и многоугольник распределения;

3) найти функцию распределения и построить ее график.

Решение

1. Так как монету подбрасывают 4 раза, то герб может появится либо все 4 раза, либо 3 раза, либо 2 раза, либо 1 раз, либо не появится, т. е. 4 раза выпадет цифра. Поэтому возможные значения случайной величины X: x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2; x4 = 3; x5 = 4. Поскольку подбрасывания монеты 4 раза являются повторными независимыми испытаниями относительно появления герба, то вероятность возможных значений случайной величины X находится по формуле Бернулли

,

где п = 4 – число всех испытаний;

k = 0;1;2;3;4 – число возможных появлений герба;

–вероятность появления герба в одном испытании, т. е. при одном бросании монеты;

; – вероятность противоположного события, т. е. выпадение цифры в одном испытании.

Если х1 = 0, то

.

Если х2 = 1, то

.

Если х3 = 2, то

.

Если х4 = 3, то

.

Если х5 = 4, то

.

Контроль вычислений: .

Таким образом, ряд распределения случайной величины X имеет вид

2. В прямоугольной системе координат строим точки с координатами ,,;,, соединяем эти точки отрезками.

Полученная ломаная является полигоном распределения случайной величины X (рис. 3).

Рис. 3

Многоугольник распределения приведен на рис. 4.

Рис. 4

3. Найдем функцию распределения случайной величины X.

Функция F(x) определена для всех . Значения случайной величины x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 4 разбивают числовую прямую на 6 интервалов (рис. 5).

Рис. 5

Для значений x, принадлежащих интервалу (xj; xi), . Найдем значенияF(x) на каждом интервале.

Пусть x  (–; 0]. В интервал (–; x) не попадает ни одно значение случайной величины X (рис. 6).

Рис. 6

Значит, .

Пусть x  (0; 1]. Условию X < x при x  (0; 1] удовлетворяет только одно значение X = 0 (рис. 7) с вероятностью , поэтому.

Рис. 7

Пусть x  (1; 2]. Условию X < x при x  (1; 2] удовлетворяют два значения X = 0, X = 1 с вероятностями исоответственно, поэтому.

Аналогично, если , то.

если , то.

если , то.

Таким образом,

График этой функции представлен на рис. 8.

рис. 8

Тест 3.2.Случайная величина задана рядом распределения

Вместо знака «?» следует поставить число:

1) 0;

2) 0,6;

3) 0,2;

4) 0,1;

5) 0,3.

Тест 3.3. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Случайная величинаX– число стандартных деталей среди отобранных. Все возможные значения случайной величиныX включают:

1) {0};

2) {0;1};

3) {1;2};

4) {0;1;2};

5) {0;1;2;3;4;5;6;7;8}.

Тест 3.4.Случайная величина, задана рядом распределения

если x  [1;5], F(x) равно:

1) 0;

2) 0,6;

3) 0,3;

4) 1;

5) 0,9.

studfile.net


Смотрите также